Поверочный расчет винта по вихревой теории

Расчет оптимального гребного винта является проектировочным, он позволяет выбрать характеристики винта, обеспечивающего судну заданную скорость или потребляющего мощность, развиваемую главным двигателем. Нередко требуется решение обратной задачи: для винта с заданной геометрией и частотой вращения определить развиваемый им упор и потребляемую мощность (или построить кривые действия гребного винта). Этот расчет называется поверочным. Существуют различные методики такого расчета, здесь мы рассмотрим сравнительно простую схему, предложенную Э. Э. Папмелем.
Расчет ведется в табличной форме (табл. 7.2) по отдельным сечениям. Исходными данными для него служат: диаметр винта D, число лопастей z, шаг на каждом радиусе Р, ширина лопасти на каждом радиусе br и дисковое отношение винта АЕ/А0, толщина профиля на каждом радиусе е и толщины относительно линии кромок е1 и е2. Вводится ряд вспомогательных величин:

Такая таблица соответствует одному относительному радиусу; в простейшем случае можно ограничиться расчетом для радиуса г = 0,7.
Таблица 7.2
                                                   Поверочный расчет винта

На небольших относительных радиусах рассчитывается вся таблица, на радиусах свыше 0,7 расчет ограничивается 28-й строкой, в последних строках учитываются центробежные силы, которыми в этом случае можно пренебречь. По данным строк (28) и (29) строят график зависимости a0,7 = f (J). Результаты расчетов обрабатываются графически. Строят графики зависимости

и

для всех относительных радиусов, которые затем перестраивают в форму

при различных относительных поступях J. Интегрируя полученные кривые по всей длине лопасти, получают кривые действия Kt,Kq,n = f(j). Кстати, популярные в прошлом диаграммы Папмеля для расчета гребных винтов получены именно расчетом по вихревой теории с последующей экспериментальной проверкой некоторых точек.

Определение оптимальной формы лопасти

Здесь имеется в виду получение наивысшего КПД при определенных условиях задания.
Принимая во внимание зависимости, для упора элемента лопасти в идеальной жидкости можно получить:

 ( 7.26 )

причем dT = dY cos Bi.
В свою очередь, по определению:

Тогда получается:

 ( 7.27 )

 ( 7.28 )

Рассчитав Wr, wa, wt, можно найти с1, cosBi и Cyb. Формула (7.28) позволяет для каждого радиуса рассчитать произведение Cyb. Это делает неоднозначным решение задачи проектирования винта, поскольку дает возможность брать различные сочетания C и b. В вязкой жидкости эти сочетания влияют на КПД. Для профиля имеется угол атаки, обеспечивающий максимальное качество (минимальное обратное качество s), которому соответствуют определенный коэффициент подъемной силы Cy и угол атаки а. Это дает возможность рассчитать шаговый угол
Ф=Bш+а-а0
и шаг винта на данном радиусе
P = 2пrtgф.
Очевидно, хорда профиля однозначно определится как

Таким образом, поставленная задача решена.

Учет профильного сопротивления

КПД винта в целом определяется зависимостью:

У оптимального винта величина

для всех сечений. Следовательно, для оптимального винта rtgBi = const.
Выполнив соответствующие преобразования, можно получить формулу:

Здесь считается e = const для всех сечений, что не вполне верно, но дает небольшую погрешность.
Для винта типа НЕЖ:

Если винт работает в идеальной жидкости, для него выгодно делать скорость Wk как можно меньше. Но в вязкой жидкости диаметр винта можно увеличивать лишь до определенного предела, т.е. существует некоторый оптимальный диаметр, превышение которого ведет к падению КПД из-за вязких потерь. С этим фактом мы встречались при изучении теории идеального движителя (говоря о применимости ее к реальным движителям).
Остановимся на определении коэффициентов подъемной силы и профильного сопротивления.
Как известно, гидродинамические силы на профиле принято представлять в виде

где Сх, Су - безразмерные коэффициенты подъемной силы и сопротивления, которые получаются, например, путем продувки соответствующих профилей в аэродинамической трубе; S - площадь крыла в плане.
При малых углах атаки нередко используется приближенная зависимость

где а0 - угол атаки в градусах, измеренный относительно направления нулевой
подъемной силы; а0 = а к + а 0; ак - кромочный угол атаки. Угол между линией
кромок и направлением нулевой подъемной силы а0 зависит от относительной стрелки прогиба средней линии профиля бc:

где С0 = 100 - для сегментного профиля; С0 = 90 - для авиационного профиля.
В специальной литературе имеются графики для коэффициентов Сх и Су применительно к профилям различной формы. По этим же графикам можно определить коэффициент обратного качества профиля e = Сх/Су .

Понятие об умеренно нагруженном винте

В этом случае нельзя пренебрегать влиянием вызванных скоростей на обтекание элемента лопасти. Путем последовательных приближений можно находить Wк и Bi. После соответствующих преобразований можно получить:

 ( 7.17 )

где

 ( 7.18 )

 ( 7.19 )

Здесь JiR - индуктивная поступь:

 ( 7.20 )

Умеренно нагруженный винт вначале можно рассчитывать как слабона-груженный, определяя Wк по соответствующей формуле. Полученное значение подставляют в формулы (7.20), (7.18) и (7.19), после чего рассчитывают отношение Wk/v в первом приближении по формуле (7.17). Затем цикл расчетов повторяют до тех пор, пока два последующих приближения не дадут близких результатов. Обычно процесс последовательных приближений быстро сходится. Наиболее сложно здесь определение     которое производится один раз.
Вышеуказанные расчеты выполняются в предположении, что число лопастей винта бесконечное. При этом распределение вызванных окружных скоростей вдоль окружности равномерное. Из-за конечности числа лопастей скорости распределяются неравномерно: у лопасти они больше, чем в промежутках между лопастями, как показано на рис. 7.9 для четырехлопастного винта. Для расчета вызванную скорость необходимо осреднять (см. горизонтальную пунктирную линию на рисунке).

Рис. 7.9. Схема распределения вызванных окружных скоростей вдоль окружности у
четырехлопастного винта

Среднее значение вызванной окружной скорости можно представить в виде произведения:

 ( 7.21 )

где k1 учитывает конечность числа лопастей, k1 = f (г, х); r = r/R - относительный радиус;

, где z - число лопастей; h = rtgB1. k1 необходимо рассчитывать для каждого лопастного сечения. В литературе имеются графики, облегчающие эту работу.
Конечность числа лопастей сильнее сказывается у концов лопастей, вблизи ступицы это влияние мало.
Поправка k2 учитывает конечность толщины лопастей. Выполним хорошо известную нам операцию: рассечем винт соосным цилиндром радиуса г, разрежем его вдоль образующей и развернем на плоскость. До сих пор мы ограничивались изображением сечения одной лопасти. Но фактически в сечение попадут все z лопастей (рис. 7.10). Вместе они образуют решетку профилей, которая стесняет поток.

Рис. 7.10. Схема решетки профилей

Величину коэффициента k2 можно определить как отношение суммы длин отрезков горизонтальной прямой внутри профилей лопастных сечений на рис. 7.10 (прямая проведена по линии наибольших толщин) к длине всей этой прямой, которая равна длине окружности 2nг.
Обозначим шаговый угол на рассматриваемом радиусе ф, толщину профиля - е, а его хорду - b. Тогда

 ( 7.22 )

У бесконечно-лопастного винта упор и крутящий момент при прочих равных условиях больше, чем у винта с конечным числом лопастей. При проектировании винта вначале число лопастей можно считать бесконечным, диаметр и суммарную циркуляцию скорости принять такими же, как у реального винта, но соответственно увеличить упор. Возможен и другой способ: принять, что вызванные скорости и упоры обоих винтов одинаковы, но у бесконечно-лопастного винта диаметр несколько меньше. Отношение диаметров можно рассчитать по формуле, предложенной Прандтлем:

 ( 7.23 )

Расчеты судовых гребных винтов по теории несущей линии требуют учета конечности не только толщины, но и ширины лопастей, особенно при больших дисковых отношениях. Для этой цели вводятся специальные поправки, которые здесь не рассматриваются.

Понятие об оптимальном гребном винте

Задачу об оптимальном гребном винте (с наименьшими индуктивными потерями) решил Бетц (Германия) в 1919 г. методами вариационного исчисления при следующих допущениях: 1) винт слабо нагружен (вызванные скорости относительно невелики); 2) винт имеет бесконечное число лопастей, так что вызванные скорости равномерно распределены по окружности; 3) винт работает в идеальной жидкости. Оптимальным является винт, у которого во всех сечениях nt = const.
Из формулы (7.11) следует, что

Поскольку v = const, отношение

Здесь введена кажущаяся поступательная скорость гребного винта v, показанная на рис. 7.6. Она получается геометрически в предположении, что направление набегающего потока задано, а вызванная окружная скорость отсутствует:

Рис. 7.6. Схема скоростей на элементе лопасти

Ей соответствует кажущаяся вызванная скорость:

При этом скорости v1 и u1 не остаются постоянными, но скорость лук постоянна для всех радиусов.
Рассмотрим, как изменяется соотношение между вызванными осевыми и окружными скоростями на разных радиусах. Учтем, что угол между векторами кажущейся и истинной вызванной скорости равен Bi. Это значит, что концы вектора полной (истинной) вызванной скорости для разных радиусов будут лежать на окружности, диаметр которой равен кажущейся вызванной скорости в диске винта wк/2. Сказанное иллюстрирует рис. 7.7, на котором для простоты у всех вызванных скоростей опущен знаменатель (равный 2).

Рис. 7.7. Схема вызванных скоростей в диске винта

Обозначения скоростей и угла указаны для одного (среднего из показанных) радиуса:

Характер распределения вызванных скоростей вдоль лопасти показан на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Распределение вызванных скоростей вдоль лопасти

Кажущуюся скорость можно вычислить следующим образом. Упор элемента лопасти в идеальной жидкости определяется по формуле:

для всех лопастей:

Подстановкой получаем:

 ( 7.12 )

Чтобы получить упор винта в целом, нужно проинтегрировать это выражение по всей длине лопасти. В связи с тем что на малых радиусах упор незначителен, для упрощения расчета интегрирование выполним от оси винта (условно считая, что ступица отсутствует, а ее заменяют лопасти) до внешнего радиуса:

Для слабонагруженных винтов можно пренебречь зависимостью Bi от вызванных скоростей и принять Bi = B. Тогда окончательно можно получить:

 ( 7.13 )

Здесь относительная поступь записана в форме

 ( 7.14 )

- обычная относительная поступь. Введем обозначение:

 ( 7.15 )

Тогда можно записать:

 ( 7.16 )

Здесь

- уже известный нам коэффициент нагрузки движителя (гребного винта) по упору, равный отношению перепада давлений в движителе к скоростному напору.
Задавшись скоростью, диаметром и частотой вращения, находят упор винта. Определив Ста и х, можно найти wк.
Здесь мы рассмотрели упрощенную задачу. В общем случае судового гребного винта, расположенного за корпусом, задача усложняется и в настоящее время полностью не решена.