Вызванные силы на элементе лопасти и КПД элемента

Выделим элемент лопасти, как обычно, разрезав ее двумя бесконечно близкими соосными цилиндрами радиуса r и r + dr. Развернув их на плоскость, получим элемент лопасти, расположенный вдоль гипотенузы шагового треугольника, подобно тому, как это мы делали в подразд. 3.1 (см. рис. 3.1). Но в этот раз учтем наличие вызванных скоростей, которые, как мы уже знаем, в диске винта равны половине полных вызванных скоростей.

Рис. 7.5. Схема скоростей и сил на элементе лопасти

На рисунке с - результирующая скорость потока в бесконечности перед винтом; с1 - в диске винта; w/2 - полная вызванная скорость в диске винта; dХ и dY - сила сопротивления и подъемная сила на элементе лопасти; dT - упор элемента; dR - сопротивление вращению; ак - кромочный угол атаки; B - гидродинамический угол; Bi - индуктивный гидродинамический угол. Углы ак и Bi вместе образуют шаговый угол ф. Вектор подъемной силы dY перпендикулярен направлению набегающего потока (вектору скорости с1), а вектор силы сопротивления dX ему параллелен.
Очевидно, что упор элемента лопасти можно найти как

 ( 7.6 )

где e - обратное качество профиля (е = X/Y). Элементарная сила сопротивления:

 ( 7.7 )

Момент этой силы:

Напомним, что

Элементарные силы зависят только от циркуляции скорости в рассматриваемом сечении и не зависят от других элементов, поэтому их можно рассматривать по отдельности, а затем проинтегрировать по длине лопасти и умножить на число лопастей.
Согласно теореме Н.Е. Жуковского, dY = pГc1dr. Стандартной обработкой экспериментальных данных получают зависимость

Отсюда получается зависимость:

 ( 7.9 )

называемая «уравнение связи потока с лопастью».
КПД элемента лопасти определяется как отношение полезной мощности к затраченной и равен

 ( 7.10 )

Первый сомножитель в формуле (7.10) учитывает потери на создание вызванных осевых скоростей; он всегда меньше единицы и существует у любого реактивного движителя, в том числе у идеального. Второй сомножитель также меньше единицы и учитывает потери на создание вызванных окружных скоростей, которые неизбежно существуют у всякого гребного винта. Наконец, третий сомножитель, который также меньше единицы, обусловлен вязкостью жидкости, в которой работает винт. Его нередко называют профильным КПД. Таким образом, КПД элемента гребного винта, работающего в вязкой жидкости, можно представить в виде произведения КПД элемента, работающего в идеальной жидкости, и профильного КПД, учитывающего вязкостные потери:

 ( 7.11 )

Вызванные скорости

Движение жидкости мы будем рассматривать в относительной системе координат, которая перемещается и вращается вместе с винтом. Предварительно установим некоторые положения.
Для винта типа НЕЖ циркуляция скорости по замкнутому контуру, расположенному в потоке перед винтом, Г = 0, поскольку контур не охватывает никаких вихрей.
Если контур охватывает осевой вихрь, циркуляция по контуру равна сумме циркуляций всех лопастей.
Циркуляция по контуру в потоке за винтом, охватывающему весь поток винта, Г = 0.
У винта с переменной вдоль лопасти циркуляцией циркуляция скорости по замкнутому контуру, расположенному в потоке перед винтом, Г = 0, как и у винта типа НЕЖ.
Циркуляция по любому контуру в потоке, отброшенном гребным винтом, равна сумме циркуляций всех лопастей на соответствующем сечении (радиусе, если контур располагается на некотором радиусе).
Займемся определением вызванных окружных (тангенциальных) скоростей. Будем считать, что полную вызванную скорость можно представить в виде геометрической суммы скорости, направленной вдоль оси винта (осевой) и по касательной к окружности (окружной), плоскость которой параллельна плоскости винта. Вихри, идущие по спирали, тоже разложим на эти два направления. На некоторой линии тока, пересекающей диск винта, выделим 5 точек: а1 - в бесконечности перед винтом; а2 - бесконечно близко к винту перед ним; а3 - на оси присоединенного вихря (в диске винта); а4 - сразу за ним; а5 - в бесконечности за винтом.
Скорости, индуцированные вихрем в жидкости, пропорциональны интенсивности вихря, длине данного элемента вихря, синусу угла между элементом вихря и радиусом-вектором на данную точку, обратно пропорциональны квадрату длины радиуса-вектора и направлены перпендикулярно плоскости, содержащей рассматриваемый элемент вектора и данную точку - закон (теорема) Био-Савара.
Из этого следует, что вихрь не может создавать скорости в плоскости, параллельной оси вихря. Окружные скорости могут создаваться осевым вихрем, свободными вихрями, параллельными оси, и несущими вихрями. Кольцевые вихри окружных скоростей не создают.
В точке а1 окружных скоростей нет, поскольку она бесконечно далеко.
В точке а2 окружных скоростей нет, так как циркуляция скорости по контуру равна 0. Вызванные вихрями скорости взаимно уничтожаются.
В точке а4 окружная скорость существует (обозначим ее wt). При этом скорость, создаваемая несущим вихрем, равна wt/2.
В точке а3 вызванная окружная скорость равна wt/2. В этой точке несущий вихрь не создает окружной скорости, так как точка находится на его оси.
В точке а5 окружная скорость такая же, как и в точке а4. Хотя здесь несущий вихрь и не создает вызванную скорость, но скорости, вызванные остальными вихрями, увеличиваются в 2 раза (вихри от этой точки уходят в обе стороны).
Жуковский ввел допущение о том, что реальный винт можно заменить винтом с бесконечным числом лопастей при условии равенства циркуляции скорости (zT где z - число лопастей реального винта, Г - циркуляция на одной лопасти). Тогда вызванные скорости на контуре, представляющем собой окружность с центром на оси винта, будут постоянными (wt = const). Циркуляция скорости на текущем радиусе r в этом случае определится выражением:

 ( 7.2 )

В общем случае для винта с переменной вдоль лопасти циркуляцией:

откуда вызванная скорость:

 ( 7.3 )

Для определения вызванных осевых (аксиальных) скоростей необходимо учесть, что осевой вихрь и концевые вихри, параллельные осевому, вызванных осевых скоростей не создают. Каждый несущий вихрь создает свою систему вызванных осевых скоростей; например, для двухлопастного винта эти скорости схематично можно изобразить, как показано на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Схема вызванных осевых скоростей от двух присоединенных вихрей

Здесь лопасти расположены вертикально, стрелки показывают направление вихрей, крестиками обозначено направление вызванной скорости от наблюдателя (видно как бы оперение летящей стрелы), кружочками - направление к наблюдателю. Чем больше число лопастей, тем больше зон положительных и отрицательных скоростей; в пределе при бесконечном числе лопастей вызванные осевые скорости равны нулю.
Кольцевые вихри создают осевые скорости, которые в потоке за винтом направлены назад (что вполне очевидно для реактивного движителя, который отбрасывает струю жидкости назад), а реакция отброшенной жидкости - упор движителя - направлена вперед.
В точке а1 (в бесконечности перед винтом) вызванные осевые скорости отсутствуют, так как все вихри расположены далеко. В точках а2 - а4 вызванные осевые скорости одинаковы и равны wa/2 - половине полной вызванной скорости, что вполне соответствует теории идеального движителя (теореме Фруда-Финстервальдера). Наконец, в точке а5 вызванная скорость имеет полную величину - wa. По длине струи скорость нарастает постепенно, особенно быстро - в диске винта.
Результирующая скорость потока в точке а1:

где u - окружная скорость винта (элемента лопасти); v - поступательная скорость. В бесконечности за винтом скорость равна

Давление в этих точках составляет соответственно р0 и р2. Если (в первом приближении) пренебречь влиянием центробежных сил, тогда в обеих точках давление оказывается одинаковым (равным р0). При этом условии можно получить зависимость

 ( 7.4 )

План скоростей в трех сечениях по длине потока изображен на рис. 7.4. Здесь скорость с - в бесконечности перед винтом; с1 - в диске винта; с2 - в бесконечности за винтом, причем с2 = с. Кроме того, v - поступательная скорость винта, u = 2nrn - окружная скорость на текущем радиусе; wa и wt - вызванные скорости. В соответствии с вышеизложенным вызванные скорости в диске винта составляют половину полных вызванных скоростей, причем осевая скорость нарастает плавно, а окружная меняется скачкообразно. Нетрудно показать, что вектор полной вызванной скорости перпендикулярен вектору скорости относительного движения в диске винта. В относительном движении винт не меняет полной скорости потока, а только изменяет ее направление. Как мы уже знаем, для создания упора окружная скорость не нужна, но осевую скорость нельзя создать гребным винтом (без дополнительных устройств) без соответствующей по величине окружной скорости.

Рис. 7.4. План скоростей гребного винта

Выше было указано, что в первом приближении влиянием центробежных сил обычно пренебрегают. Рассмотрим, как эти силы влияют на работу винта. Для этого выделим элементарный объем жидкости двумя цилиндрическими сечениями радиуса r и r + dr; площадь элемента обозначим da, а плотность жидкости - р. К этому объему будет приложена центробежная сила:

Эта сила уравновешивается разностью давлений с двух сторон элементарного объема dp:

откуда

Если проинтегрировать данное выражение в пределах от текущего до внешнего радиуса, получим:

где р0 и р2 - давления в потоке далеко перед и за винтом соответственно (см. выше). После несложных преобразований можно получить:

 ( 7.5 )

где

- поправка, учитывающая увеличение вызванной осевой скорости в результате действия центробежных сил. Эта поправка сравнительно слабо зависит от характера изменения циркуляции скорости вдоль лопасти, которая определяет величину вызванной окружной скорости. Для практической оценки этого влияния можно считать циркуляцию постоянной. В этом случае поправку ц можно определить по таблице 7.1:

Из таблицы видно, что для сечений, расположенных вблизи ступицы, влияние центробежных сил существенно. Но развиваемый этими сечениями упор и создаваемое сопротивление вращению незначительны. Это дает возможность пренебрегать влиянием центробежных сил на относительных радиусах r/R > 0,7.

Вводные положения

Около 100 лет назад было разработано несколько теорий, наиболее совершенной и перспективной оказалась вихревая теория, предложенная Н.Е. Жуковским в 1912 г. Рассматривая фотографии следа за работающим в воде гребным винтом, полученные Фламмом, Жуковский обратил внимание на наличие свободных вихрей, расположенных в следе за винтом. На этом основании он пришел к выводу, что взаимодействие винта с жидкостью можно заменить взаимодействием с идеальной жидкостью системы вихрей, присоединенных (связанных с лопастями) и свободных. Вихри, сходящие с концов лопастей, называются концевыми, они образуются вследствие перетекания жидкости с нагнетательной поверхности на засасывающую. По оси винта располагается осевой вихрь. Каждый вихрь создает вызванные скорости, такие же, как у гребного винта. Присоединенные вихри также называются несущими, поскольку они создают подъемную силу.
Вихревая теория позволяет выполнять проектировочный и поверочный расчет винта. В первом случае речь идет об определении геометрических характеристик оптимального винта, удовлетворяющего условиям задания, во втором - о расчете гидродинамических характеристик винта с заданной геометрией.
Известно, что между лопастью винта и крылом самолета имеется аналогия. Учитывая ее, вначале рассмотрим вихревую схему крыла конечного размаха, имеющего постоянное сечение. Эта схема представляет собой П-образный вихрь (рис. 7.1). В идеальной жидкости свободные вихри уходят в бесконечность.

Рис. 7.1. П-образный вихрь у крыла конечного размаха

На рис. 7.2 показана схема вихревой системы двухлопастного винта с постоянной по длине лопасти циркуляцией скорости (винта типа НЕЖ - Н.Е. Жуковского). Свободные вихри по форме близки к винтовым линиям.

Рис. 7.2. Вихревая система двухлопастного винта: Г - циркуляция скорости на лопасти;
D - диаметр винта

У реальных винтов циркуляция скорости переменная вдоль лопасти. Это обеспечивает более высокий КПД. Соответственно свободные вихри сходят с лопасти на разных радиусах. Переменность циркуляции должна приводить к образованию не дискретных вихрей, а вихревой пелены, но такая система неустойчива и распадается на отдельные вихри. Напомним, что циркуляция скорости - одно из фундаментальных понятий в гидромеханике и представляет собой криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора скорости v на дифференциал радиуса-вектора точки контура dr:

 ( 7.1 )

Имеется несколько вариантов вихревой теории гребного винта, отличающихся своими допущениями. Если каждая лопасть (или крыло конечного размаха) схематизируется одним присоединенным вихрем, получается теория несущей линии. Если присоединенные вихри располагаются непрерывно или дискретно вдоль опорной поверхности, схематизирующей лопасть, получается теория несущей поверхности. При этом толщину лопасти можно учесть путем распределения слоя источников по той же поверхности.
Возможен другой, нелинейный подход, который заключается в том, что присоединенные вихри располагаются по засасывающей и нагнетательной сторонам лопасти, что позволяет учесть ее толщину без введения слоя источников.
Закон движения присоединенных вихрей определяется законом движения лопастей, с которыми они связаны, тогда как закон движения свободных вихрей заранее неизвестен, как и их форма и интенсивность. Эти характеристики определяются в процессе решения задачи, причем считается, что силовое взаимодействие между этими вихрями и потоком жидкости отсутствует, поскольку эти вихри не связаны с каким-либо твердым телом. Следовательно, скорость перемещения любого элемента свободного вихря относительно жидкости равна нулю.
В линейной схеме вихревого следа форма свободных вихрей заранее задается и считается независимой от вызванных скоростей (соответствует направлению невозмущенного потока), в нелинейной - определяется с учетом этих скоростей в процессе решения гидродинамической задачи, что намного сложнее. Применительно к гребному винту в линейной схеме свободные вихри представляют собой винтовые линии постоянного шага, расположенные на поверхности цилиндра, соосного с винтом. В нелинейной схеме вихри несколько деформируются (происходит сужение струи) и меняют шаг.
Теория несущей линии обеспечивает достаточную точность для авиационных винтов с узкими лопастями; при слабых или умеренных нагрузках на винт допустимо использовать линейную схему вихревого следа. Судовые гребные винты имеют сравнительно большие шаговые отношения, что требует использования теории несущей поверхности.